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Valeur absolue et intégrale.

Valeur absolue et intégrale.

Messagepar Aèfe » 30/10/2004 17:01

Bonjour à tous :)

J'ai un devoir maison à faire pendant les vacances et il y a un moment où je bloque :oops: , pourriez-vous me donner quelques indications s'il vous plait ? Merci beaucoup d'avance !

Voici l'énoncé:
Montrer que pour tout (a,b) appartenant à R(+), valeur absolue de (exp(-a) – exp(-b)) <=valeur absolue de (a-b).

Pour répondre à cette question j’ai utilisé les accroissements finis.

La question suivante demande :

:arrow: en déduire que pour tout (x(1), x(2)) appartenant à R(+), la valeur absolue de F(x(1)) – F(x(2))<= (1/2). Valeur absolue de (x(1) – x(2)), avec F(x)= (1/2).intégrale de 0 à (pi/2) de (exp(-x.sin(t)))dt.

Je n'ai pas réussi à "exploiter" la question précédente pour aboutir au résultat voulu.

Une autre partie d’un problème considère la fonction numérique t définie par : pour tout t, élément de ]0,pi]
f(t)= [(t-((sqr t)/ 2 pi)) / (sin (t/2))] et la première question est :
:arrow: soit f(barre) le prolongement par continuité de f en 0, que vaut f(barre) de 0 ?

Comme c'est le dénominateur qui pose problème j'ai utilisé les équivalents.

On admet l’existence d’un réel M tel que, pour tout t, élément de [0,pi] :
0<=f(barre)de t<=M.
Soit alpha un réel fixé tel que 0<alpha<pi.

:arrow: Montrer que, pour tout n, élément de N,

Valeur absolue de (intégrale de 0 à alpha de ((f(barre)det).sin ((2n+1)/2))dt)<=alpha.M.

Là par contre je ne vois pas du tout comment faire, pourriez-vous svp me guider un peu? Merci !

Bonne soirée,

Aèfe :)
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Messagepar Stéphane78 » 30/10/2004 18:26

Une autre partie d’un problème considère la fonction numérique t définie par : pour tout t, élément de ]0,pi]
f(t)= [(t-((sqr t)/ 2 pi)) / (sin (t/2))] et la première question est :
soit f(barre) le prolongement par continuité de f en 0, que vaut f(barre) de 0 ?

Comme c'est le dénominateur qui pose problème j'ai utilisé les équivalents.


>> tu as bien trouvé f bar (0) = 2?
en effet : f(t) ~ t/(t/2) ~ 2 (numérateur = polynome, ~ a son monome de plus bas degré en O)
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Re: Valeur absolue et intégrale.

Messagepar Stéphane78 » 30/10/2004 18:44

Aèfe a écrit:On admet l’existence d’un réel M tel que, pour tout t, élément de [0,pi] :
0<=f(barre)de t<=M.
Soit alpha un réel fixé tel que 0<alpha<pi.

:arrow: Montrer que, pour tout n, élément de N,

Valeur absolue de (intégrale de 0 à alpha de ((f(barre)det).sin ((2n+1)/2))dt)<=alpha.M.


- |Int f| <= Int |f|
>Travaillons alors sur Int |f| et tachons de le majorer par alpha*M, le resultat sera alors acquis.

- nous avons, pour tout t, élément de [0,pi] :
0<=f(barre)de t<=M
puisque alpha € [O, Pi], on peut aussi ecrire :
pour tout t, élément de [0,alpha] :
0<=f(barre)de t<=M
d ou O<=|f(barre)de t|<=|M|
Par csqt, 0<=| sin ((2n+1)/2)) * f(barre)de t|<=|M| *sin ((2n+1)/2))

- intégrons alors cette relation sur [0, alpha] (bornes dans le bon sens), il vient :
0<= Int (0,alpha) [| sin ((2n+1)/2)) * f(barre)de t|]<=Int(O, alpha)[|M| *sin ((2n+1)/2)|]

- Or Int(O, alpha)[|M| *sin ((2n+1)/2)|] = alpha * |M *sin ((2n+1)/2)||
puisque le sin est inférieur a 1,
on peut alors ecrire : Int(O, alpha)[|M *sin ((2n+1)/2)|] <= alpha * |M|
soit, puisque M>= 0, Int(O, alpha)[|M *sin ((2n+1)/2)|] <= alpha * M

ce qui permet d'apres la première remarque, de conclure,

Int(O, alpha)[f(barre)(t)*sin ((2n+1)/2)] <= alpha * M :P
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Re: Valeur absolue et intégrale.

Messagepar Stéphane78 » 30/10/2004 19:03

Aèfe a écrit:Montrer que pour tout (a,b) appartenant à R(+), valeur absolue de (exp(-a) – exp(-b)) <=valeur absolue de (a-b).

Pour répondre à cette question j’ai utilisé les accroissements finis.

[ Et ça a marché, je suppose :wink: ]

:arrow: en déduire que pour tout (x(1), x(2)) appartenant à R(+), la valeur absolue de F(x(1)) – F(x(2))<= (1/2). Valeur absolue de (x(1) – x(2)), avec F(x)= (1/2).intégrale de 0 à (pi/2) de (exp(-x.sin(t)))dt.

Je n'ai pas réussi à "exploiter" la question précédente pour aboutir au résultat voulu.


Moi si. Voici comment :

- on a |(exp(-a) – exp(-b))| <=| (a-b) |
Posons a = x(1)sin t et b= x(2)sin t
il vient: |(exp(-x(1)sint) – exp(-x(2)sint))| <=|(x(1)-x(2))sint|

- en multipliant par 1/2, nous obtenons :
1/2 * |(exp(-x(1)sint) – exp(-x(2)sint))| <= 1/2 * |((x(1)-x(2))sint|
ou encore :
1/2 * |(exp(-x(1)sint) – exp(-x(2)sint))| <= 1/2 * | (x(1)-x(2) |* |sin t|
- intégrons alors cette relation sur [0,Pi/2] (bornes dans le bon sens...)
Int (0, Pi/2)[1/2 * (exp(-x(1)sint) – exp(-x(2)sint)) ]<= 1/2 * | (x(1)-x(2) | * |Int (O,Pi/2)[sint]|
(on a sorti du signe intégral les termes indépendants de t)

Or |Int (O,Pi/2)[sint]| = [cost](0,Pi/2)= 1
donc Int (0, Pi/2)[1/2 * (exp(-x(1)sint) – exp(-x(2)sint)) ]<= 1/2 * |(x(1)-x(2)|

soit, et ce sera mon dernier mot,
|F(x(1)) – F(x(2))|<= (1/2). |(x(1) – x(2)|
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Merci !

Messagepar Aèfe » 30/10/2004 19:40

Bonsoir Stéphane 78 :)

Un grand merci pour tes messages, je vais les travailler tout de suite. Merci d'avoir pris du temps pour m'aider et me donner toutes ces explications, bonne soirée !

Aèfe :)
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Messagepar Stéphane78 » 30/10/2004 19:48

Mais ce fut un plaisir, chère Aèfe...
Si quelque chose te semble faux ou obscur dans mes réponses, n'hésite pas à me signaler ta perplexité... :wink:
Bonne soirée !
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