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Une intégrale casse-bonbon

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Messagepar axinou » 10/02/2008 17:58

Bonjour bonjour !
J'ai une intégrale à primitiver, et j'ai essayé 10 fois de différentes manières, et surtout par parties mais sans résultats. Donc je pense qu'il y a un "truc", mais je ne vois absolument pas quoi...

La voici: ∫ (t^(n-1))*(e^(-∝t))dt (avec les bornes de 0 à +∞, donc impropre en +∞) et ∝ réel >0
(j'ai mis plein de parenthèse parce que j'ai peur que vous vous trompiez en lisant l'intégrale)

ps: le problème de l'intégration par parties, c'est qu'on se retrouve sans cesse avec un reste intégrale où il faut refaire une intégration par partie, et ça jusqu'à l'infini :/

Merci d'avance de vos réponses
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Messagepar sky » 10/02/2008 19:43

Tu pose le changement de variable affine (donc licite) u=at puis tu tomberas sur la fonction gamma !
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Messagepar Julien_ » 10/02/2008 21:27

La fonction Gamma est hors programme en ECE! (je reconnais que le changement de variable donne la réponse en 30 secondes ceci dit^^)

En utilisant le programme de ECE:

Tu peux dans un premier temps calculer l'intégrale entre 0 et x (x>0).

Ensuite pour la primitive, on sait que le produit d'une exponentielle (dont la puissance est une fonction affine) et d'une fonction polynomiale de degré (n-1)) est le produit d'une fonction polynomiale de même degré et de l'exponentielle.

Dans la pratique ça revient à écrire :

∃ n réels ( a(0), a(1),..., a(n-1)) tels que une primitive de la fonction soit:

(∑ a(k) t^k) e^(-∝t).

Tu dérives, et par identification des coefficients tu obtiens un système.

En espérant n'avoir pas commis de grosse bourde sur la méthode à employer.
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Messagepar sky » 10/02/2008 21:46

Désolé je n'avais pas vu l'option !
Sinon tu as bien répondu.
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Messagepar grundahr » 10/02/2008 22:24

plus simplement : tu fais un changement de variable u=at pour virer ce qui est "gênant" dans l'exponentielle, puis tu intègres par parties.
Ensuite une récurrence simple tu permettra de trouver un résultat général (sous forme de factorielle)
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