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Aide en maths, ESCP-EAP, EML 2005

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Messagepar benji_TES » 25/05/2006 19:16

Bonsoir tout le monde!

Voilà, je suis entrain de plancher sur un DM (facultatif), et j'ai un problème avec la partie II du sujet commun 2005 de l'ESCP-EAP et de l'EM Lyon en maths 2 option éco...

Pour rafraichir la mémoire, il traite du developpement en série de ln(1-x).

On a comme hypothèse x réel de ]0,1[.

La première question, résolue sans difficulté, demandait de montrer l'égalité pour tout n entier différent de 0 :
x_______________n
∫ (1-t^n / 1-t) dt = ∑ x^k/k
0_______________k=1

(j'ai fais au mieux pour l'écriture)

La deuxieme question :
A l'aide d'un encadrement simple, montrer que :
__________x
lim _______ ∫ (t^n /1-t) dt = 0
n->+inf ____0

[spoiler pour ceux qui veulent se refaire l'exo sans la soluce ]

J'arrive à un encadrement : 0<=l'intégrale bidule truc<= x^(n+1) / (1-x)(n+1), donc théoreme d'encadrement des lim, blablabla, youpi ca marche..

[/fin spoiler]

Et ma grande interogation du jour porte sur la dernière question :
Etudier la convergence de la série de terme général x^k /k ainsi que l'égalité
inf
∑ x^k/k =-ln(1-x)
k=1

J'arrive à trouver l'égalité demandée, mais il y a un problème... x étant compris dans ]0,1[, quand x tend vers 1, la limite de la série part vers l'infini, donc la série ne converge plus à ce moment là. :?

Quelqu'un peut-il m'expliquer?


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Messagepar PepePrepa » 25/05/2006 19:43

Bah tu es à la 3ème question donc il faut que tu utilises les 2 questions précédentes.

L'intégrale dans l'expression de la question 1 comprend l'intégrale de la question 2. Donc à toi de calculer l'autre bout, cad l'intégrale de 1/(1-t) de 0 à x. Par l'algèbre des limites tu as ce que tu veux.
En bref, il faut utiliser les questions d'avant.
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Messagepar PepePrepa » 25/05/2006 19:48

J'ai été un peu trop rapide, et j'avoue que j'ai du mal à saisir ton problème.
Perso, j'écrirais l'égalité, et puis tu dis que la STG x^k/k converge clairement. Le x faut pas se prendre la tête avec la limite c'est par n, pas par x.
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Messagepar benji_TES » 25/05/2006 22:05

PepePrepa a écrit:J'ai été un peu trop rapide, et j'avoue que j'ai du mal à saisir ton problème.
Perso, j'écrirais l'égalité, et puis tu dis que la STG x^k/k converge clairement. Le x faut pas se prendre la tête avec la limite c'est par n, pas par x.


Ok, c'est ce que j'avais fais... On m'a aussi conseillé ailleurs de ne pas me prendre la tête avec le x, n'empêche que ça me turlupine quand même cette histoire! :lol:

Merci pepeprepa! :wink:


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Messagepar lakiss » 26/05/2006 08:51

En fait ta question est relative à la notion de convergence uniforme, mais je crois que cette notion n'est pas au programme en prépa HEC. En gros, çà signifie que, pour un x donné (0<x<1), la série converge. Par contre, elle ne converge pas "à la même vitesse" pour tous les x... comme tu l'as remarqué. Si on pouvait trouver un majorant indépendant de x, tel qu'il permette de définir une série convergente, alors on pourrait dire que la série converge "à la même vitesse" pour tous les x. On parle alors de "convergence uniforme".
Dans le cas de cette série il n'y a pas de tel majorant. On parle ici de "convergence normale".

Bon courage.
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