Prouver 1/(k+1)<=ln(k+1)-lnk<=1/k ou correction EML ESCP2000

[Capivara]

Bonjour bonjour.

Je met tout de suite le sujet qui me pose problème il est là :

http://baudrand.club.fr/annales2000/hec ... h2_eco.doc

Partie 1) a) je n'arrive pas du tout à voir comment il faut faire.

Vous pourriez m'éclairer ?
Et même si quelqu'un à la corrigé quelque part, ça m'arrangerais je pense que je vais en avoir besoin ^^


merci beaucoup

[mace brigante]

Tout d'abord, je tiens à préciser que je n'ai plus fait d'analyse depuis presque exactement un an donc merci de votre indulgence.

L'inégalité à démontrer me semble assez classique voire très récurrente dans les exos ou problèmes de prépa. Je vois 2 moyens de la résoudre: soit tu y vas à la bourrine en étudiant 2 fonctions sur R* où tu montres la positivité de 1/x+lnx-ln(x+1) sur R* puis a fortiori sur N*. Pareil en ce qui concerne l'inégalité de gauche en montrant la négativité de ln(k+1)-lnk-1/(k+1). C'est long et très fastidieux, il faut sortir des tableaux de variation, bref pas très élégant.
Le 2ème moyen que je verrais serait d'utiliser l'inégalité des accroissements finis. En prenant f=ln sur [k;k+1] où k appartient à N* on a bien ln dérivable et quel que soit x dans [k;k+1] l'inégalité 1/(k+1) <=ln'(x)<=1/k. On a donc un minorant et un majorant de la dérivée de ln sur l'intervalle qui nous intéresse. Par suite, en appliquant l'inégalité des accroissements finis on a donc 1/(k+1)<= (ln(k+1)-ln k)/(k+1-k)<=1/k ce qui nous mène ensuite à la solution.

[titemandarinebleue]

mace brigante a raison je crois.
Mais la 2eme methode me semble plus "prepa style"

[PepePrepa]

Ou tu vas dans le msfa voir la constante d'euler

[Scorp]

l'égalité de droite est évidente : on sait que le ln(u+1)<=u, pour cela, il suffit d'utiliser le dl de ln : ln(u+1)=u-u²/2+o(x²)
Or ln(k+1)-ln(k)=ln((K+1)/k)=ln(1+(1/k))<=1/K
Pour l'égalité de gauche, ca peut etre sympa d'utiliser la constant d'Euler comme le dit PepePrepa (ca change un peu, et c'est + marrant que l'étude de fonction)
On rappelle que :
Série harmonique : Somme(1/K, de 1 à n) = ln(n)+gamma+o(1) où gamma est la constant d'Euler
Il suffit ensuite de faire apparaitre une somme télescopoque :
S(1/K, 1à n+1) - S(1/K, 1 à n) = 1/(n+1)
A vous de compléter le raisonnement.