On a bien u=t/x et donc du=dt/x. En remplacant dans l'intégrale, ca fait intégrale de 0 à 1 de xphi(ux)du et non xphi(u)du.
Or ux est inférieur à u (je suppose, c'est quoi l'hypothèse sur x? x est entre 0 et 1 non?), donc par croissance de phi et par croissance de l'intégrale avec bornes dans le bon sens, on a bien l'inégalité.